Questão FC89227
Na disputa entre Cardano e Tartaglia pela resolução da equação polinomial do terceiro grau (século XVI), foi que se percebeu que os números reais eram insuficientes para o tratamen
Conjuntos
CEBRASPE (CESPE) · 2019
que evidenciou a necessidade da criação do conjunto dos números complexos (C). Em 1572, Rafael Bombelli fez a suposição de que (C) era um número con−h−e−cido e concluiu que e que 
Leonhard Euler (1707-1783) introduziu a notação i para √−1 e passou a estudar os números complexos da forma z = a + ib, em que a e b são números reais e i2 = -1.Tendo o texto anterior como referência inicial bem como fatos históricos da matemática e a teoria dos números complexos, julgue o item que se segue.
Na Grécia Antiga, verificou-se a insuficiência dos números racionais em medir a diagonal do quadrado de lado igual a um.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: A afirmação está CERTA porque, na Grécia Antiga, especialmente com a contribuição de matemáticos como Hipaso de Metaponto, ficou evidente a insuficiência dos números racionais para representar algumas quantidades. Um exemplo clássico é a diagonal de um quadrado que possui lado de comprimento 1. Essa diagonal é representada pela raiz quadrada de 2, denotada como \( \sqrt{2} \).
O importante neste contexto é que a raiz quadrada de 2 não pode ser expressa como uma razão entre dois inteiros \( \frac{a}{b} \), onde \( a \) e \( b \) são inteiros e \( b \neq 0 \). Essa descoberta levou os matemáticos a entender que existem números além dos racionais — os números irracionais.
A prova da irracionalidade de \( \sqrt{2} \) é um exemplo típico de argumento por contradição. Vamos considerá-la rapidamente:
1. Suppose que \( \sqrt{2} = \frac{a}{b} \), onde \( a \) e \( b \) são coprimos (não têm fatores em comum).
2. Elevando os dois lados ao quadrado, obtemos: \( 2 = \frac{a^2}{b^2} \).
3. Multiplicando por \( b^2 \): \( a^2 = 2b^2 \).
4. Isso implica que \( a^2 \) é par, o que significa que \( a \) também deve ser par (pois o quadrado de um número ímpar é ímpar).
5. Se \( a = 2k \) (para algum inteiro \( k \)), então substituindo na equação original, podemos concluir que \( b \) também tem que ser par.
6. Portanto, \( a \) e \( b \) são pares, contradizendo a suposição de que eram coprimos.
Isso demonstra que a suposição inicial está errada e, portanto, \( \sqrt{2} \) é um número irracional. Essa descoberta acabou por ampliar o entendimento da matemática, levando à construção de outros conjuntos numéricos, como os números reais e, posteriormente, os números complexos. Assim, a observação de que os números racionais eram insuficientes foi um passo fundamental para o avanço da matemática.
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