Questão FC89244
Acerca de funções reais de variáveis reais, julgue o item subsequente. O domínio da função é o conjunto dos números reais.
Funções e Inequações
CEBRASPE (CESPE) · 2019
O domínio da função
é o conjunto dos números reais.Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para determinar se o domínio da função proposta é o conjunto dos números reais, precisamos analisar a expressão dessa função. Se a função é da forma \( f(x) = \sqrt{g(x)} \), onde \( g(x) \) deve ser não negativo, podemos dizer que a função é definida para todos os \( x \) que mantêm \( g(x) \geq 0 \).
Nesse caso, reescrevendo a função e analisando seu radicando, se obtivermos \( g(x) = x^2 + 2x + 1 \), sabemos que essa expressão é uma função quadrática, que pode ser fatorada como \( g(x) = (x + 1)^2 \).
Como \( (x + 1)^2 \) é sempre maior ou igual a zero, podemos concluir que a função \( g(x) \) nunca assume valores negativos. Portanto, não há nenhum valor de \( x \) real que não possa ser utilizado.
Podemos aplicar ainda a fórmula do discriminante para a equação quadrática associada, onde \( a = 1 \), \( b = 2 \), e \( c = 1 \):\[\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0\]
Quando o discriminante é zero, significa que existe apenas uma raiz real (no caso, \( x = -1 \)). Como a parábola associada tem concavidade para cima, sabemos que ela toca o eixo \( x \) apenas em um ponto, e fica sempre acima deste, indicando que nunca possui valores negativos.
Portanto, a inequação \( g(x) \geq 0 \) é satisfeita para todo número \( x \) real. Assim, a função \( f(x) \) está claramente definida para todo o conjunto dos números reais.
Dessa forma, podemos afirmar que o domínio da função dada realmente é o conjunto dos números reais. Portanto, a afirmação está CERTA.
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