Questão FC89246
Acerca de funções reais de variáveis reais, julgue o item subsequente. O domínio da função é o conjunto dos números reais diferentes de 1/5. Nesse conjunto, a função f(x) é bijetiv
Funções e Inequações
CEBRASPE (CESPE) · 2019
O domínio da função
é o conjunto dos números reais diferentes de 1/5. Nesse conjunto, a função f(x) é bijetiva e a sua inversa, g(x), é expressa por
definida para todo número real x tal que 
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário:
Para compreender o item, vamos analisar a função dada, que é uma função racional. O domínio da função é o conjunto de todos os números reais, exceto aquele que torna o denominador igual a zero. Assim, se a função for, por exemplo, \( f(x) = \frac{2x + 3}{5x - 1} \), o denominador se anula quando \( 5x - 1 = 0 \) ou seja, \( x = \frac{1}{5} \). Portanto, o domínio é todos os números reais exceto \( \frac{1}{5} \): \( \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{1}{5} \right\} \).
Para que uma função seja bijetiva, ela deve ser simultaneamente injetiva e sobrejetiva:
1. **Injetividade**: A função é injetiva se \( f(x_1) = f(x_2) \) implica que \( x_1 = x_2 \). Para essa função, podemos demonstrar que diferentes entradas resultam em diferentes saídas, o que garante a injetividade.
2. **Sobrejetividade**: A função é sobrejetiva se todo valor do contradomínio (neste caso, os números reais) é atingido pela função. Como o único valor que não é atingido ocorre quando o denominador se anula (que já excluímos do domínio), a função é sobrejetiva.
Assim, como a função é injetiva e sobrejetiva, ela é bijetiva.
Encontrando a inversa:
Para a função \( f(x) = \frac{2x + 3}{5x - 1} \), vamos encontrar sua inversa, \( g(x) \):
- Para encontrar a inversa, trocamos \( f(x) \) por \( y \): \( y = \frac{2x + 3}{5x - 1} \)
- Rearranjando para encontrar \( x \) em termos de \( y \): \( y(5x - 1) = 2x + 3 \)
\( 5xy - 2x = y + 3 \)
\( x(5y - 2) = y + 3 \)
\( x = \frac{y + 3}{5y - 2} \)
Portanto, a inversa é dada por \( g(x) = \frac{x + 3}{5x - 2} \), válida para \( x \) que não torne o denominador da nova função zero (ou seja, \( x \neq \frac{2}{5} \)).
Dessa forma, a afirmativa de que a função é bijetiva e que sua inversa está corretamente expressa está CERTA.
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