Tendo como referência as funções f(x) = x2−5x+4 e g(x) = x2−3 em que −∞ < x < +∞ , julgue o item que se segue. No intervalo .

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Comentário: Para entender por que a assertiva é ERRADA, vamos analisar as funções dadas:

Função f(x): \( f(x) = x^2 - 5x + 4 \)
Para determinar as raízes de \( f(x) \), utilizamos a fórmula de Bhaskara:\br>\( \Delta = b^2 - 4ac \)
Aqui, \( a = 1 \), \( b = -5 \), e \( c = 4 \):
\( \Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 25 - 16 = 9 \)
Assim, as raízes são calculadas como:
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{2} \)
Portanto, as raízes são \( x = 4 \) e \( x = 1 \).

Função g(x): \( g(x) = x^2 - 3 \)
As raízes desta função são obtidas ao igualar a função a zero:
\( x^2 = 3 \) resulta em \( x = \pm\sqrt{3} \) ou aproximadamente \( x \approx \pm1.73 \).

Observamos que ambas as funções são do tipo parábola com coeficiente a positivo, ou seja, ambas estão voltadas para cima. Portanto, podem ser analisadas em seus respectivos intervalos:

1. Para \( f(x) \), a função f(x) é negativa entre as raízes, em \( 1 < x < 4 \).
2. Para g(x), a função g(x) é negativa entre \( -\sqrt{3} < x < \sqrt{3} \), ou seja, entre \( -1.73 < x < 1.73 \).

Quando analisamos o intervalo \( 1 \leq x < \sqrt{3} \), notamos que:
- \( f(x) < 0 \) em \( 1 < x < 4 \)
- \( g(x) < 0 \) em \( 1 < x < \sqrt{3} \)

Assim, para \( x \) no intervalo \( 1 < x < \sqrt{3} \), temos que ambas as funções \( f(x) \) e \( g(x) \) são negativas, resultando em:

Como a razão entre dois números negativos é positiva, temos:\
\( f(x) \cdot g(x) > 0 \) nesse intervalo, evidenciando assim que a assertiva está incorreta.

Portanto, a conclusão se mantém consistente: a afirmativa de que a razão \( \frac{f(x)}{g(x)} < 0 \) no intervalo considerado é ERRADA.