A respeito da trigonometria do triângulo retângulo e das funções trigonométricas, julgue o item que se segue. Se em um triângulo qualquer os comprimentos de todos os lados forem nú

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Considere um triângulo qualquer com lados \(a,b,c\) todos números racionais. Queremos mostrar que os cossenos dos ângulos internos também são racionais.

Pela lei dos cossenos para o ângulo \(\alpha\) oposto ao lado \(a\) vale \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\). Isolando \(\cos\alpha\) obtemos
\(\displaystyle \cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\).

Como \(a,b,c\) são racionais, os termos \(b^2,c^2,a^2\) e o produto \(2bc\) também são racionais. Como as operações de soma, subtração, multiplicação e divisão entre racionais resultam em racionais, o quociente acima é racional.

Logo, cada cosseno de ângulo interno do triângulo é racional, lembrando que \(b\) e \(c\) são positivos, então o denominador é não nulo.