Questão FC89260
A respeito da trigonometria do triângulo retângulo e das funções trigonométricas, julgue o item que se segue. Se α e β forem os ângulos agudos de um triângulo retângulo e se então
Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico.
CEBRASPE (CESPE) · 2019
Se α e β forem os ângulos agudos de um triângulo retângulo e se
então 
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário:
O item apresentado é CERTO e podemos justificá-lo através de alguns conceitos fundamentais da trigonometria do triângulo retângulo.
Considerando que \(\alpha\) e \(\beta\) são os ângulos agudos de um triângulo retângulo, sabemos que a soma dos ângulos em qualquer triângulo é igual a \(180^\circ\). Como um dos ângulos é reto (\(90^\circ\)), temos:
\(\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ\)
\(\Rightarrow \alpha + \beta = 90^\circ\)
Isso implica que \(\beta = 90^\circ - \alpha\). Portanto, a relação entre os ângulos \(\alpha\) e \(\beta\) é que são complementares.
Agora, observando a função cosseno, podemos afirmar que:
\(\cos(\beta) = \cos(90^\circ - \alpha)\)
Segundo a relação fundamental da trigonometria, temos:
\(\cos(90^\circ - \theta) = \sin(\theta)\)
Assim, substituindo \(\theta\) por \(\alpha\), obtemos:
\(\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)\)
Portanto, podemos afirmar que:
\(\cos(\beta) = \sin(\alpha)\)
Assim, a afirmação do item está correta, pois estabelece uma relação direta entre as funções trigonométricas dos ângulos complementares \(\alpha\) e \(\beta\).
Em resumo, \(\alpha\) e \(\beta\) são complementares e a relação de \(\cos(\beta) = \sin(\alpha)\) demonstra a interdependência das funções trigonométricas neste contexto. Essa propriedade é uma das bases da trigonometria e valida a assertiva apresentada.
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