Questão FC89264
Na disputa entre Cardano e Tartaglia pela resolução da equação polinomial do terceiro grau (século XVI), foi que se percebeu que os números reais eram insuficientes para o tratamen
Números Complexos
CEBRASPE (CESPE) · 2019
que evidenciou a necessidade da criação do conjunto dos números complexos (C). Em 1572, Rafael Bombelli fez a suposição de que (C) era um número con−h−e−cido e concluiu que e que 
Leonhard Euler (1707-1783) introduziu a notação i para √−1 e passou a estudar os números complexos da forma z = a + ib, em que a e b são números reais e i2 = -1.Tendo o texto anterior como referência inicial bem como fatos históricos da matemática e a teoria dos números complexos, julgue o item que se segue.
Se z é um número complexo, então as 3 raízes da equação z3 −1 = 0 têm a parte imaginária não nula.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: A afirmação de que todas as raízes da equação \( z^3 - 1 = 0 \) possuem parte imaginária não nula é ERRADA. Vamos entender por quê:
Quando analisamos a equação \( z^3 - 1 = 0 \), estamos buscando as raízes cúbicas da unidade. Essas raízes são da forma:
\[z_k = \cos\left(\frac{2\pi k}{3}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi k}{3}\right) \quad (k = 0, 1, 2)\]
Delas, a raiz correspondente a \( k = 0 \) é \( z_0 = 1 \), que tem parte imaginária igual a 0. Portanto, é um número real.
As outras duas raízes, \( z_1 \) e \( z_2 \), correspondem a:
\[z_1 = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\]
e
\[z_2 = \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}\]
Assim, podemos observar que enquanto \( z_1 \) e \( z_2 \) têm parte imaginária diferente de zero, a raiz \( z_0 = 1 \) tem parte imaginária nula.
Entretanto, isso demonstra que não é verdade que todas as raízes têm parte imaginária não nula. Portanto, a afirmação original é, de fato, ERRADA.
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