Questão FC89266
Na disputa entre Cardano e Tartaglia pela resolução da equação polinomial do terceiro grau (século XVI), foi que se percebeu que os números reais eram insuficientes para o tratamen
Números Complexos
CEBRASPE (CESPE) · 2019
que evidenciou a necessidade da criação do conjunto dos números complexos (C). Em 1572, Rafael Bombelli fez a suposição de que (C) era um número con−h−e−cido e concluiu que e que 
Leonhard Euler (1707-1783) introduziu a notação i para √−1 e passou a estudar os números complexos da forma z = a + ib, em que a e b são números reais e i2 = -1.Tendo o texto anterior como referência inicial bem como fatos históricos da matemática e a teoria dos números complexos, julgue o item que se segue.
Se z ≠ 0 é um número complexo escrito na forma trigonométrica, em que seu argumento é igual a π/4, então z2 é um número real.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: O item julgado como "ERRADO" se baseia na interpretação da forma trigonométrica de um número complexo e suas propriedades.
Quando um número complexo \( z \) é expresso na forma trigonométrica, tem-se a relação:
\( z = r (\cos \theta + i \sin \theta) \), onde \( r \) é o módulo de \( z \) e \( \theta \) é o argumento.
Se assumirmos que o argumento \( \theta = \frac{\pi}{4} \), obtemos:
\( z = r \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \).
Sabendo que:
\( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) e \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), podemos reescrever \( z \) como:
\( z = r \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \).
Ao calcular \( z^2 \), temos:
\( z^2 = \left(r \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)^2 \).
Isso se expande para:
\( z^2 = r^2 \left( \frac{(\sqrt{2})^2}{4} + 2 \cdot \frac{(\sqrt{2})^2}{4} \cdot i + (i \cdot i) \frac{(\sqrt{2})^2}{4} \right) \).
Considerando que \( i^2 = -1 \), a expressão se torna:
\( z^2 = r^2 \left( \frac{2}{4} + \frac{2}{4}i - \frac{2}{4} \right) \), que se simplifica para:
\( z^2 = r^2 \left( \frac{2}{4} i \right) = \frac{r^2}{2} i \).
Portanto, como \( z^2 \) possui uma parte imaginária não nula (dada por \( \frac{r^2}{2} i \)), podemos concluir que \( z^2 \) é, na verdade, um número complexo e não um número real, reforçando que a afirmação original está **ERRADA**.
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