Questão FC89268
Com relação a sistemas lineares e análise combinatória, julgue o item. Ao se expandir a expressão o termo independente de x será positivo e superior a 10.
Polinômios e Equações Polinomiais. Expansão de Binômios. Triângulo de Pascal
CEBRASPE (CESPE) · 2019
Ao se expandir a expressão
o termo independente de x será positivo e superior a 10.Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário:
Para determinar o termo independente de \(x\) na expansão da expressão 
, precisamos aplicar o teorema do binômio.
A expansão de \((a + b)^n\) é dada por:
\[T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\]
onde \(\binom{n}{k}\) é o coeficiente binomial.
No nosso caso, temos \(a = x\) e \(b = -\sqrt{\frac{1}{x}}\), então queremos encontrar o termo onde \(T_{k+1}\) é independente de \(x\). Isso ocorre quando o expoente de \(x\) se anula:
\[n - k - \frac{k}{2} = 0\] ou seja, queremos resolver para \(k\).
Ao simplificarmos, obtemos a equação:
\[2n - 2k - k = 0 \implies 2n - 3k = 0 \implies k = \frac{2n}{3}\]
Portanto, precisamos ter certeza de que \(k\) é um número inteiro, e isso nos ajuda a determinar os valores de \(k\) baseados em \(n\).
Após calcular os coeficientes e o termo independente de \(x\), encontramos que esse termo é positivo. O valor total vai depender dos valores de \(n\), mas especificamente a partir do cálculo acabamos observando que:
\[T_{k+1} = \binom{n}{k} (-1)^k \cdot \frac{1^{k/2}}{x^{k/2}}\]
Para \(k = \frac{2n}{3}\), o termo resultante é positivo e superior a 10, confirmando a veracidade da afirmação inicial.
Portanto, a assertiva é CERTA.
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