Questão FC89278
Julgue o item seguinte, referente a geometria analítica, geometria plana e geometria espacial. Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, o ponto da circunferência x2
Geometria Analítica
CEBRASPE (CESPE) · 2019
Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, o ponto da circunferência x2+y2 = 1 que está mais próximo da reta y+2x = 4 é o ponto
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: O enunciado afirma que o ponto da circunferência \(x^2 + y^2 = 1\) que está mais próximo da reta \(y + 2x = 4\) é um ponto determinado. No entanto, essa afirmação é ERRADA. Vamos analisar o porquê.
Primeiramente, a circunferência \(x^2 + y^2 = 1\) tem centro na origem (0, 0) e raio unitário.
A reta \(y + 2x = 4\) pode ser reescrita na forma \(y = -2x + 4\). Observando essa reta, temos que seu coeficiente angular é \(-2\). Para encontrar o ponto da circunferência mais próximo dessa reta, devemos considerar uma reta perpendicular a ela que passe pela origem. O coeficiente angular de uma reta perpendicular é o oposto do inverso do coeficiente angular original. Portanto, o coeficiente angular da reta perpendicular será \(\frac{1}{2}\). Assim, a equação dessa reta perpendicular que passa pela origem é dada por:\(y = \frac{1}{2}x\)
Agora, precisamos encontrar a interseção entre essa reta e a circunferência \(x^2 + y^2 = 1\). Substituindo \(y\) na equação da circunferência, temos:\[x^2 + \left(\frac{1}{2}x\right)^2 = 1\]Simplificando, obtemos:\[x^2 + \frac{1}{4}x^2 = 1 \Rightarrow \frac{5}{4}x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{4}{5} \Rightarrow x = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}\]Substituindo \(x\) na equação da reta \(y = \frac{1}{2}x\) para encontrar \(y\):\[y = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\]Assim, temos dois possíveis pontos de interseção: \(\left(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right)\) e \(\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\).Portanto, o ponto que está mais próximo da reta não é simplesmente um ponto isolado, como sugerido. Isso confirma que a afirmativa original está INCORRETA.
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