Questão FC89279
A respeito da função f(x) = x4−8x2+12, em que −∞ < x < ∞ julgue o item a seguir. No intervalo −2 < x < 0 , essa função é crescente.
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2019
No intervalo −2 < x < 0 , essa função é crescente.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: A função dada é f(x) = x4 - 8x2 + 12. Para determinar se essa função é crescente no intervalo (−2, 0), precisamos analisar a sua derivada primeira, que nos dirá se a função está subindo ou descendo.
Primeiro, vamos calcular a derivada de f(x):
\( f'(x) = 4x^3 - 16x \)
Agora, para encontrar os pontos onde essa derivada se anula, igualamos a derivada a zero:
\( 4x^3 - 16x = 0 \)
Fatorando essa equação, temos:
\( 4x(x^2 - 4) = 0 \)
As soluções são:
x = 0, x = 2 e x = -2.
Essas raízes dividem a reta dos números reais em intervalos. Precisamos verificar o sinal de f'(x) nos intervalos formados:
- Para o intervalo (−∞, −2), podemos escolher um ponto como x = -3:
\( f'(-3) = 4(-3)^3 - 16(-3) = -108 + 48 = -60 \) (negativo).
- Para o intervalo (−2, 0), podemos escolher x = -1:
\( f'(-1) = 4(-1)^3 - 16(-1) = -4 + 16 = 12 \) (positivo).
- Para o intervalo (0, 2), podemos escolher x = 1:
\( f'(1) = 4(1)^3 - 16(1) = 4 - 16 = -12 \) (negativo).
Agora, analisando os sinais encontrados, concluímos que:
- No intervalo (−∞, −2), a derivada é negativa, indicando que a função é decrescente.
- No intervalo (−2, 0), a derivada é positiva, implicando que a função é crescente.
- E no intervalo (0, 2), a derivada volta a ser negativa, indicando que a função é decrescente novamente.
Portanto, conforme analisado, podemos afirmar que a função f(x) é realmente crescente para (−2, 0), confirmando que o item está CERTO.
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