A respeito da função f(x) = x4−8x2+12 , em que −∞ < x < ∞ julgue o item a seguir. Os mínimos locais y = f(x) da função estão localizados nos pontos de abcissas x1 = −2 e x2 = 2, qu

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Comentário: Para analisar a função f(x) = x^4 - 8x^2 + 12 e identificar seus mínimos e máximos, devemos encontrar os pontos críticos. Isso é feito derivando a função e igualando a derivada a zero.

Assim, calculamos a derivada:

\( f'(x) = 4x^3 - 16x \)

Através da fatoração, temos:

\( f'(x) = 4x(x^2 - 4) = 4x(x - 2)(x + 2) \)

Os pontos críticos ocorrem quando a derivada é igual a zero, resultando nas raízes:
x₁ = -2, x₂ = 0, x₃ = 2.

Esses pontos precisam ser avaliados na função original para determinar se são mínimos ou máximos locais. Vamos calcular:

\( f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 12 = 16 - 32 + 12 = -4 \)
\( f(0) = (0)^4 - 8(0)^2 + 12 = 12 \)
\( f(2) = (2)^4 - 8(2)^2 + 12 = 16 - 32 + 12 = -4 \)

Agora, observando os resultados, temos:

- Para x = -2 e x = 2, f(x) = -4, que são os valores mínimos locais e também mínimos absolutos, pois são os menores valores que a função atinge.
- Para x = 0, f(x) = 12, que é maior que -4 e representa um máximo local, mas não é um máximo absoluto, pois há valores como f(-3) que são f(-3) = 21, superando f(0).

Portanto, a afirmação original está correta: os mínimos locais estão em x = -2 e x = 2, que são também mínimos absolutos; enquanto x = 0 é um máximo local, mas não absoluto.

Desse modo, a alternativa está CERTA.