Julgue o item, relativo à função f(x,y) = 4+cos(x+y), para (x,y) restritos ao domínio 0 ≤ x ≤ 2π e 0 ≤ y ≤ 2π. A função f(x,y) tem infinitos pontos críticos em seu domínio.

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Comentário: A afirmação de que a função f(x,y) = 4 + \cos(x+y) possui infinitos pontos críticos é CERTA.

Para determinar os pontos críticos, precisamos primeiro calcular as derivadas parciais da função em relação a x e y. Inicialmente, derivamos a função:

\(\frac{\partial f}{\partial x} = -\sin(x+y)\)

Agora, igualamos essa derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

\(-\sin(x+y) = 0\)

Isso implica que:

\(\sin(x+y) = 0\)

A solução para \(\sin(x+y) = 0\) ocorre quando \(x+y = n\pi\), onde \(n\) é um número inteiro. Isso significa que, para cada valor de x no intervalo [0, 2\pi], podemos encontrar um y que satisfaça essa equação.

Por exemplo, se escolhermos x = 0, teríamos y = n\pi, e, semelhante, escolher x = \pi/2 resultaria em y = (n-1)\pi/2, e assim por diante. Como existe uma infinidade de valores inteiros para n, o que implica que há uma infinidade de combinações de x e y que satisfazem a condição de serem pontos críticos da função.

Além disso, dado que y\ pode ser expresso em função de x:

\(y = n\pi - x\)

temos que, para todo valor de n\, haverá um ponto crítico correspondente, dentro do limite do domínio.

Portanto, concluímos que a função realmente tem infinitos pontos críticos em seu domínio.