Julgue o item, relativo à função f(x,y) = 4+cos(x+y), para (x,y) restritos ao domínio 0 ≤ x ≤ 2π e 0 ≤ y ≤ 2π. O volume de um sólido compreendido entre o gráfico da função z = f(x,

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Comentário: O item em questão está ERRADO porque o volume do sólido formado pelo gráfico da função f(x,y) = 4 + \cos(x+y) e o plano xOy deve ser calculado através de uma integral dupla.

Para determinar o volume, precisamos calcular a integral definida:

\( V = \int_0^{2\pi} \int_0^{2\pi} (4 + \cos(x+y)) \, dx \, dy \)

Vamos resolver a integral em duas etapas:

1. A integral interna (em relação a x):

Primeiro, calculamos:

\( \int_0^{2\pi} (4 + \cos(x+y)) \, dx = \int_0^{2\pi} 4 \, dx + \int_0^{2\pi} \cos(x+y) \, dx \)

A primeira parte se calcula facilmente:

\( \int_0^{2\pi} 4 \, dx = 4 \cdot (2\pi - 0) = 8\pi \)

Já a segunda parte requer uma substituição:

Sejamos \( u = x + y \), então \( du = dx \).

Os limites de \( x \) vão de 0 a \( 2\pi \), portanto, para \( u \):

Quando \( x = 0 \), \( u = y \) e quando \( x = 2\pi \), \( u = 2\pi + y \). Assim, temos:

\( \int_y^{2\pi+y} \cos(u) \, du = \sin(u) \big|_y^{2\pi+y} = \sin(2\pi+y) - \sin(y) = 0 - \sin(y) = -\sin(y) \)

Logo:

\( \int_0^{2\pi} (4 + \cos(x+y)) \, dx = 8\pi - \sin(y) \)

1. A integral externa (em relação a y):

Agora precisamos integrar:

\( V = \int_0^{2\pi} (8\pi - \sin(y)) \, dy \)

A primeira parte se calcula como:

\( \int_0^{2\pi} 8\pi \, dy = 8\pi \cdot (2\pi - 0) = 16\pi^2 \)

E a parte referente a \( \sin(y) \) resulta em zero,
pois a integral de uma função seno completa ao longo de um período (de 0 a \( 2\pi \)) é nula:

\( \int_0^{2\pi} \sin(y) \, dy = 0 \)

Portanto, temos que o volume total é:

\( V = 16\pi^2 \)

Estimando com \( \pi \approx 3 \):

\( V \approx 16 \cdot 9 = 144 \)

Porém, como \( 16\pi^2 \) é estritamente maior que 144 (considerando \( \pi \approx 3.14 \)), podemos afirmar que o volume é superior a 144 unidades de volume.

Portanto, a afirmação de que o volume é inferior a 144 unidades é INCORRETA, e o gabarito apresentado na questão está ERRADO.