Questão FC89283
No item a seguir, é apresentada uma situação hipotética, seguida de uma assertiva a ser julgada, a respeito de máximos e mínimos de funções, da regra de trapézio para cálculo aprox
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2019
Uma caixa, sem tampa superior, deve ter a forma de um paralelepípedo reto- retângulo, de base quadrada e volume igual a 4.000 cm3. A espessura do material a ser utilizado para a confecção dessa caixa é desprezível. Nesse caso, para a confecção da caixa com as referidas especificações, serão necessários, pelo menos, 1.200 cm2 de material.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para entender a questão, precisamos analisar a forma da caixa e como calcular a área necessária para sua construção.
Seja a o lado da base da caixa (que é um quadrado) e b a altura. O volume da caixa é dado por:
\( V = a^2 \cdot b \). Como o volume deve ser 4.000 cm³, temos:
\( a^2 \cdot b = 4.000 \) e assim, podemos expressar b:
\( b = \frac{4.000}{a^2} \).
Agora, vamos calcular a área total da caixa, que não possui tampa superior. A área da base é \( a^2 \) e a área das quatro laterais (cada lateral é um retângulo com dimensões a por b) é \( 4 \cdot (a \cdot b) = 4ab \). Portanto, a área total A é dada por:
\( A = a^2 + 4ab \).
Substituindo b na expressão da área:
\( A = a^2 + 4a \cdot \frac{4.000}{a^2} \)
\( A = a^2 + \frac{16.000}{a} \).
Agora precisamos otimizar essa área. Para encontrar o valor de a que minimiza A, derivamos essa função:
\( A' = 2a - \frac{16.000}{a^2} \).
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
\( 2a = \frac{16.000}{a^2} \)
Multiplicando ambos os lados por \( a^2 \):
\( 2a^3 = 16.000 \)
\( a^3 = 8.000 \)
Logo, a é dado por:
\( a = 20 \) cm.
Para confirmar que esse ponto realmente corresponde ao mínimo, podemos observar os valores da área em torno de 20 cm:
- Para \( a = 15 \): \( A = 15^2 + \frac{16.000}{15} \) resulta em uma área maior que 1.200 cm².
- Para \( a = 25 \): \( A = 25^2 + \frac{16.000}{25} \) também resulta em uma área maior que 1.200 cm².
Dessa forma, a área mínima da caixa é, de fato, 1.200 cm². Portanto, a afirmativa é CERTA.
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