A respeito da transformação linear T : R3→R3, em que T(x,y,z) = (2x+y,3y+4z,4x+2y) , julgue o item seguinte. O determinante da matriz de T em relação à base canônica de R3 é igual

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Comentário: Neste item, estamos analisando a transformação linear T definida por T(x,y,z) = (2x + y, 3y + 4z, 4x + 2y). A primeira etapa é representar essa transformação usando uma matriz canônica em relação à base canônica de R³.

Podemos escrever as equações que aparecem na transformação da seguinte maneira:

• w₁ = 2x + y + 0z
• w₂ = 0x + 3y + 4z
• w₃ = 4x + 2y + 0z

Assim, podemos representar a transformação linear na forma matricial:

\[\begin{pmatrix}w_1 \\w_2 \\w_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 0 & 4 \\1 & 3 & 2 \\0 & 4 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y \\z\end{pmatrix}\]

A matriz associada à transformação T é:

\[A = \begin{pmatrix}2 & 0 & 4 \\1 & 3 & 2 \\0 & 4 & 0\end{pmatrix}\]

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz. Para isso, a regra de Sarrus pode ser utilizada. Repetimos as duas primeiras colunas da matriz e obtemos:

\[\begin{vmatrix}2 & 0 & 4 \\1 & 3 & 2 \\0 & 4 & 0 \\2 & 0 & 4 \\1 & 3 & 2\end{vmatrix}\]

Calculamos o determinante da seguinte forma:

• Produto da diagonal principal: \(2 \cdot 3 \cdot 0 + 0 \cdot 2 \cdot 2 + 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0 + 0 + 16 = 16\)
• Produto da diagonal secundária (com sinal negativo): \(4 \cdot 3 \cdot 0 + 0 \cdot 2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 4 = 0 + 0 + 8 = 8\), então multiplicamos por -1: \( -8\)

Agora, somamos os resultados:

\(16 - 8 = 8\)

Contudo, observamos que as linhas da matriz são linearmente dependentes, já que a terceira linha é uma combinação linear da primeira e da segunda. Portanto, o determinante será igual a zero.

Conclusão: Assim, o determinante da matriz de T é realmente igual a zero, e o item está CERTO.