Questão FC89286
A respeito da transformação linear T : R3→R3, em que T(x,y,z) = (2x+y,3y+4z,4x+2y) , julgue o item seguinte. A dimensão da imagem de T é igual a 3.
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2019
A dimensão da imagem de T é igual a 3.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: A afirmação de que a dimensão da imagem de \(T\) é igual a 3 está ERRADA por algumas razões fundamentais na análise de transformações lineares.
Primeiramente, para determinar a dimensão da imagem de uma transformação linear, precisamos considerar a matriz associada a essa transformação. A transformação \(T\) é expressa como:
\(T(x,y,z) = \begin{pmatrix} 2x + y \\ 3y + 4z \\ 4x + 2y \end{pmatrix}\)
Assim, a matriz da transformação \(A\) correspondente é:
\[A = \begin{pmatrix}2 & 1 & 0 \\0 & 3 & 4 \\4 & 2 & 0\end{pmatrix}\]
Agora, para determinar a dimensão da imagem, precisamos calcular o posto da matriz, o que pode ser encontrado através do cálculo do determinante ou pela forma escalonada. Vamos observar que:
- Ao analisar as linhas da matriz \(A\), notamos que a terceira linha (\([4, 2, 0]\)) é uma combinação linear das demais, se considerarmos que ela é o dobro da primeira linha: \([2, 1, 0] \times 2\).
Isso implica que a matriz não possui 3 linhas linearmente independentes. Portanto, a forma escalonada de \(A\) revelará apenas 2 linhas não nulas, indicando que a dimensão da imagem de \(T\) é de fato 2 e não 3.
Assim, concluímos que a dimensão da imagem de \(T\) é igual a 2, o que demonstra que o item está ERRADO.
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