Questão FC89288
Uma pesquisa revelou características da população de uma pequena comunidade composta apenas por casais e seus filhos. Todos os casais dessa comunidade são elementos do conjunto A ∪
Conjuntos
CEBRASPE (CESPE) · 2018
Todos os casais dessa comunidade são elementos do conjunto A ∪ B ∪ C, em que
A = {casais com pelo menos um filho com mais de 20 anos de idade};
B = {casais com pelo menos um filho com menos de 10 anos de idade};
C = {casais com pelo menos 4 filhos}.
Considerando que n(P) indique a quantidade de elementos de um conjunto P, suponha que n(A) = 18; n(B) = 20; n(C) = 25; n(A∩B) = 13; n(A∩C) = 11; n(B∩C) = 12 e n(A∩B∩C) = 8. O diagrama a seguir mostra essas quantidades de elementos.
Com base nas informações e no diagrama precedentes, julgue o item a seguir.
Se um casal dessa comunidade for escolhido ao acaso, então a probabilidade de ele ter menos de 4 filhos será superior a 0,3.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: A afirmação de que a probabilidade de um casal escolhido ao acaso ter menos de 4 filhos é superior a 0,3 está ERRADA. Vamos entender o porquê, de forma detalhada:
Para determinar a probabilidade de um casal ter menos de 4 filhos, precisamos primeiro calcular o número total de casais na comunidade. Usamos a fórmula para a união de conjuntos:
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
Substituindo os valores fornecidos:
n(A ∪ B ∪ C) = 18 + 20 + 25 - 13 - 11 - 12 + 8
Ao realizar os cálculos, temos:
n(A ∪ B ∪ C) = 35
Portanto, o total de casais é 35.
Agora, para saber quantos casais têm menos de 4 filhos, precisamos considerar o conjunto dos casais com pelo menos 4 filhos (conjunto C):
n(com menos de 4 filhos) = n(A ∪ B ∪ C) - n(C)
Assim,
n(com menos de 4 filhos) = 35 - 25
Resultando em:
n(com menos de 4 filhos) = 10
Por fim, a probabilidade de um casal ter menos de 4 filhos é dada pela razão entre o número de casais com menos de 4 filhos e o total de casais:
Probabilidade = \(\frac{n(com menos de 4 filhos)}{n(A ∪ B ∪ C)} = \frac{10}{35}\)
Calculando essa fração:
Probabilidade ≈ 0,2857 (ou 28,57%).
Portanto, essa probabilidade não é superior a 0,3.
Assim, a afirmação inicial está INCORRETA.
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