Questão FC89303
A sequência infinita A1, A2, A3, A4, ... é definida da seguinte maneira: para cada j = 1, 2, 3, 4, ..., Aj = 1, se j for múltiplo de 3; Aj = 3, se j – 1 for múltiplo de 3; Aj = 5,
Conjuntos
CEBRASPE (CESPE) · 2018
Aj = 1, se j for múltiplo de 3;
Aj = 3, se j – 1 for múltiplo de 3;
Aj = 5, se j – 2 for múltiplo de 3.
Dessa forma, por exemplo, A1 = 3 e A2 = 5.
Com base nessas informações, julgue o item seguinte.
Para todo índice j, tem-se que A2j – A2j – 1 + A3j > 2.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Para entender porque a afirmação é ERRADA, vamos analisar a sequência Aj e os termos que nos foram dados:
Temos:
- Aj = 1, se j for múltiplo de 3;
- Aj = 3, se j – 1 for múltiplo de 3;
- Aj = 5, se j – 2 for múltiplo de 3.
Agora, ao olharmos para a expressão A2j - A2j - 1 + A3j, sendo que j é um número natural, notamos que:
- Para todo j, A3j será sempre igual a 1, uma vez que 3j é um múltiplo de 3.
Assim, podemos simplificar a expressão para:
\(A2j - A2j - 1 + 1 > 2\)
Isso implica que:
\(A2j - A2j - 1 > 1\)
Porém, essa última desigualdade não é verdadeira em todos os casos. Para ilustrar, vamos testar com um valor específico de j.
Por exemplo, vamos escolher j = 2:
- Temos 2j = 4 e 2j - 1 = 3, assim:
\(A4 - A3 = 5 - 1 > 1\) que resulta em \(4 > 1\), ou seja, verdadeiro.
Agora, vamos testar com j = 4:
- Temos 2j = 8 e 2j - 1 = 7, assim:
\(A8 - A7 = 3 - 5 > 1\) que resulta em \(-2 > 1\), o que é falso.
Portanto, encontramos pelo menos um caso em que a condição não se sustenta. Isso mostra que a afirmação não é verdadeira para todo j.
Dessa forma, a resposta correta é que A2j - A2j - 1 + A3j não é sempre maior que 2. Portanto, a afirmação é ERRADA.
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