Questão FC89304
A respeito de história da matemática, julgue o item subsequente. Em virtude de necessidades contábeis da época, os egípcios tinham a preferência pela utilização das frações unitári
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CEBRASPE (CESPE) · 2018
Em virtude de necessidades contábeis da época, os egípcios tinham a preferência pela utilização das frações unitárias, isto é, aquelas em que o número 1 é o numerador. Parte do Papiro de Rhind, um importante registro matemático dos egípcios, trata da decomposição de frações a partir de frações unitárias. As frações unitárias na forma 1/n sempre podem ser decompostas em exatamente duas frações unitárias, por exemplo
Nesse contexto, é correto afirmar que as únicas decomposições da fração unitária 1/4 são
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: A afirmação contida na questão está ERRADA, pois as frações unitárias na forma 1/n não se limitam a ter apenas duas decomposições. Para exemplificar, vamos analisar a fração 1/4 e verificar que existem diferentes maneiras de expressá-la como a soma de frações unitárias.
Considerando as frações que somam para obter 1/4, podemos representar a equação como:
\( \frac{1}{4} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \)
Multiplicando ambos os lados por \( 4xy \), temos:
\( xy = 4y + 4x \) ou seja, reorganizando, \( xy - 4y = 4x \) resulta em: \( y(x - 4) = 4x \)
Com a condição de que x > 4 para que y seja um número inteiro e não negativo.
Por exemplo, se escolhermos x = 6, teremos:
\( y = \frac{4 \cdot 6}{6 - 4} = \frac{24}{2} = 12 \) Portanto, podemos escrever:
\( \frac{1}{4} = \frac{1}{6} + \frac{1}{12} \)
Além disso, também podemos escolher x = 8:
\( y = \frac{4 \cdot 8}{8 - 4} = \frac{32}{4} = 8 \) Assim, temos:
\( \frac{1}{4} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \)
Portanto, ainda que 1/4 tenha algumas decomposições que aparecem no enunciado, não são as únicas. Isso demonstra que a afirmação do enunciado não se sustenta, validando que o gabarito é de fato ERRADO.
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