Questão FC89342
A respeito de história da matemática, julgue o item subsequente. Em um dos paradoxos do filósofo Zenão é contada a história do herói Aquiles, que disputa uma corrida com uma tartar
Progressão Geométrica
CEBRASPE (CESPE) · 2018
Em um dos paradoxos do filósofo Zenão é contada a história do herói Aquiles, que disputa uma corrida com uma tartaruga. Nessa corrida ambos desenvolvem velocidades constantes, mas a razão entre a velocidade da tartaruga e a de Aquiles é da forma 1/m, em que m > 1. Aquiles, por ser mais rápido, permite que a tartaruga largue na sua frente e, depois de ela ter percorrido d1 metros, ele inicia a sua corrida. Depois de certo tempo, o herói percorreu essa distância de d1 metros; a tartaruga havia percorrido mais d2 metros. Na etapa seguinte, repete-se o processo e Aquiles percorre essa distância de d2 metros, enquanto a tartaruga percorre mais d3 metros.
Considerando que esse processo continue, Aquiles será capaz de ultrapassar a tartaruga depois de percorrer uma distância igual a d1 × m/[m - 1].
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: A questão trata do famoso paradoxo de Zenão, especificamente o paradoxo de Aquiles e a tartaruga. Neste cenário, a situação envolve a análise de uma série infinita de distâncias que Aquiles precisa percorrer para alcançar a tartaruga, que parte à frente.
Para entender por que a afirmação está CERTA, devemos considerar que as distâncias que a tartaruga percorre em cada etapa são proporcionais e formam uma progressão geométrica (P.G.).
Denotemos a distância inicial que a tartaruga percorre como \( d_1 \). Na primeira etapa, Aquiles percorre essa mesma distância \( d_1 \), enquanto a tartaruga avança um pouco mais, digamos \( d_2 \). Este processo se repete indefinidamente.
As distâncias percorridas pela tartaruga seguem a relação:
- \( d_1 \) (primeira distância)
- \( d_2 = \frac{1}{m} \cdot d_1 \) (distância na segunda etapa)
- \( d_3 = \frac{1}{m} \cdot d_2 = \frac{1}{m^2} \cdot d_1 \) (distância na terceira etapa)
Podemos observar que, após \( n \) passos, a distância que a tartaruga percorreu é uma série geométrica com a primeira distância \( d_1 \) e razão \( \frac{1}{m} \). A soma \( S \) dessa série infinita é dada por:
\[ S = \frac{d_1}{1 - \frac{1}{m}} \]
Resolvendo a expressão, temos:
\[ S = \frac{d_1 \cdot m}{m - 1} \]
Isso significa que Aquiles ultrapassará a tartaruga após percorrer uma distância equivalente a \( \frac{d_1 \cdot m}{m - 1} \), que é exatamente o que a questão afirmava.
Então, podemos concluir que a afirmação está CERTA pois, conforme demonstrado, Aquiles realmente precisa percorrer essa distância para alcançar a tartaruga.
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