Julgue o item que se seguem, relativos a matrizes e sistemas lineares. Se P for uma matriz simétrica, então P será inversível.

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A afirmação é errada porque nem toda matriz simétrica é obrigatoriamente inversível.

Uma matriz simétrica satisfaz \(P=P^T\), mas a inversibilidade depende do seu determinante: uma matriz é inversível se, e somente se, \(\det(P)\neq 0\).

Exemplo: a matriz nula \(P=\begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix}\) é simétrica e tem \(\det(P)=0\), portanto não é inversível. Esse contraexemplo basta para negar a afirmação.

De forma geral, matrizes simétricas têm autovalores reais, mas um ou mais autovalores podem ser zero, o que torna a matriz singular. Assim, a proposição é falsa.