Julgue o item que se seguem, relativos a matrizes e sistemas lineares. Se 0 é a matriz nula n × n, se I é a matriz identidade n × n, e se P é uma matriz n × n tal que P2 + 2P + I =

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Da hipótese \( \em{P}^2+2\em{P}+ \em{I}=0\) segue, isolando \(\em{I}\), que \(\em{I}=-\em{P}^2-2\em{P}\).

Reescrevendo, obtemos \(\em{I}=\em{P}(-\em{P}-2\em{I})\) e também \(\em{I}=(-\em{P}-2\em{I})\em{P}\), pois ambos os produtos geram \(-\em{P}^2-2\em{P}\).
Logo \((- \em{P}-2\em{I})\) é simultaneamente uma inversa à direita e à esquerda de \(\em{P}\).

Portanto \(\em{P}\) é inversível e sua inversa é \((- \em{P}-2\em{I})\), já que \(\em{P}(-\em{P}-2\em{I}) = (-\em{P}-2\em{I})\em{P} = \em{I}\).

Atenção: não se deve concluir que \(\em{P}+\em{I}=0\) nem aplicar determinante termo a termo, essas são abordagens incorretas.