Questão FC89355
Julgue o item que se seguem, relativos a matrizes e sistemas lineares. Considere que Y0 seja uma solução do sistema linear PX = B, em que P é uma matriz n × n de coeficientes const
Matrizes
CEBRASPE (CESPE) · 2018
Considere que Y0 seja uma solução do sistema linear PX = B, em que P é uma matriz n × n de coeficientes constantes, X é a matriz das incógnitas, n × 1, e B é a matriz dos termos independentes, também n × 1. Nessa situação, toda solução X desse sistema pode ser escrita na forma X = Y0 + W, em que W é tal que PW = 0 (0 é a matriz nula n × 1).
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Partindo de que \(Y_0\) é uma solução particular de \(PX=B\), toda vetor \(X\) da forma \(X=Y_0+W\) com \(PW=0\) também é solução, pois
\(P(X)=P(Y_0+W)=PY_0+PW=B+0=B\). Assim, qualquer \(X\) construído dessa maneira satisfaz o sistema.
Recíproco: se \(X\) resolve \(PX=B\), então \(W=X-Y_0\) verifica \(PW=PX-PY_0=B-B=0\). Logo, \(W\) pertence ao conjunto das soluções homogêneas de \(P\).
Conclusão: o conjunto de todas as soluções é a soma do vetor particular \(Y_0\) com o núcleo de \(P\), ou seja \( \{Y_0\}+ \ker(P)\), razão pela qual o item foi considerado CERTO.
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