Julgue o item que se seguem, relativos a matrizes e sistemas lineares. Se a é um número real e se o determinante da matriz for igual a zero, então a = - 2 ou a = 1.

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Comentário: A afirmativa apresentada é CERTA. Vamos analisar o problema com atenção.

Seja a um número real e consideremos a matriz P dada por:

\( P = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 1 & a - 1 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \)

Realizando a soma das duas matrizes, temos:

\( P = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 1 & a - 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & -2 \\ -1 & a + 1 \end{bmatrix} \)

Agora, vamos calcular o determinante da matriz P. O determinante de uma matriz 2x2 é dado pela fórmula:

\( det(P) = ad - bc \), onde a, b, c, d são os elementos da matriz P = \begin{bmatrix} a & -2 \\ -1 & a + 1 \end{bmatrix} .

Logo, temos:

\( det(P) = a(a + 1) - (-2)(-1) \)

Isso simplifica para:

\( det(P) = a^2 + a - 2 \)

Para que essa matriz tenha um determinante igual a zero, devemos ter:

\( a^2 + a - 2 = 0 \)

Esse é um polinômio quadrático. Para resolver, aplicamos a fórmula de Bháskara:

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

onde a = 1, b = 1 e c = -2. Assim, encontramos:

\( \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \)

Agora, aplicando a fórmula de Bháskara para encontrar as raízes:

\( a = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2} \)

Isso nos dá duas soluções:

\( a_1 = \frac{2}{2} = 1 \quad \text{e} \quad a_2 = \frac{-4}{2} = -2 \)

Portanto, encontramos que a pode ser -2 ou 1. Assim, a afirmação inicial de que se o determinante for zero, então a = -2 ou a = 1, está correta. Portanto, o gabarito está CERTO.