Questão FC89357
Julgue o item que se seguem, relativos a matrizes e sistemas lineares. Um sistema linear escrito na forma matricial PX = - X, em que P é uma matriz n × n de coeficientes constantes
Sistemas Lineares
CEBRASPE (CESPE) · 2018
Um sistema linear escrito na forma matricial PX = - X, em que P é uma matriz n × n de coeficientes constantes e X é a matriz das incógnitas, n × 1, tem solução única se, e somente se, a matriz P + I for inversível (I é a matriz identidade n × n).
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário:
Para entender a afirmativa, reescrevamos o sistema linear dado na forma matricial:
PX = -X pode ser reescrito como PX + X = 0, que se simplifica para X(P + I) = 0.
Aqui, P é a matriz de coeficientes e I é a matriz identidade. O sistema X(P + I) = 0 é um sistema linear homogêneo, onde a matriz (P + I) é a matriz dos coeficientes.
Para que esse sistema admita uma solução única, que é apenas a solução trivial (X = 0), é necessário que o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero, ou seja:
\[\text{det}(P + I) \neq 0\]
Isto significa que a matriz (P + I) deve ser inversível. Portanto:
- Se a matriz (P + I) é inversível, então det(P + I) ≠ 0 e o sistema possui solução única.
- Se o sistema possui solução única, isso implica que det(P + I) ≠ 0, ou seja, (P + I) é inversível.
Dessa maneira, concluímos que o sistema linear PX = -X tem uma solução única se, e somente se, P + I for inversível. Assim, a afirmativa é CERTA.
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