Questão FC89358
Julgue o item seguinte, a respeito de números complexos e funções de variáveis complexas. A função de variável complexa para z ≠ 0, transforma os pontos afixos da circunferência da
Números Complexos
CEBRASPE (CESPE) · 2018
A função de variável complexa
para z ≠ 0, transforma os pontos afixos da circunferência dada por |z−i| = 1(z ≠ 0) em pontos de uma reta perpendicular ao eixo imaginário.Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: A função de variável complexa dada por \( \phi(z) = \frac{1}{z} \) para \( z \neq 0 \) transforma pontos da circunferência definida por \( |z - i| = 1 \) em uma reta perpendicular ao eixo imaginário.
Para entender isso, primeiro vamos analisar a circunferência mencionada. A equação \( |z - i| = 1 \) representa uma circunferência de centro \( (0, 1) \) e raio 1 no plano complexo. Como resultado, essa circunferência abrange todos os pontos cuja distância do ponto \( i \) (ou seja, \( (0, 1) \)) é igual a 1.
Podemos expressar um número complexo \( z \) como \( z = x + yi \), onde \( x \) é a parte real e \( y \) é a parte imaginária. A condição \( |z - i| = 1 \) nos leva a:
\[|(x + (y - 1)i)| = 1 \\\sqrt{x^2 + (y - 1)^2} = 1 \\x^2 + (y - 1)^2 = 1\]
Desenvolvendo esta igualdade, obtemos a equação da circunferência:
\[x^2 + y^2 - 2y + 1 = 1 \\x^2 + y^2 - 2y = 0 \\x^2 + y^2 = 2y\]
Agora, vamos aplicar a função \( \phi(z) \) em \( z \). Multiplicando pelo conjugado, obtemos:
\[\phi(z) = \frac{1}{z} = \frac{1}{x + yi} \cdot \frac{x - yi}{x - yi} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2}\]
Substituindo \( x^2 + y^2 \) pela expressão \( 2y \) que encontramos anteriormente, fica:
\[\phi(z) = \frac{x - yi}{2y} = \frac{x}{2y} - \frac{y}{2} i\]
A partir daqui, notamos que a parte imaginária \( -\frac{y}{2} \) é constante para todos os pontos da circunferência, enquanto a parte real \( \frac{x}{2y} \) varia com \( x \). Portanto, a transformação leva todos os pontos da circunferência para uma reta horizontal (ou seja, perpendicular ao eixo imaginário) em \( y = -\frac{1}{2} \).
Assim, concluímos que a função transforma pontos da circunferência em uma reta perpendicular ao eixo imaginário, confirmando que a afirmação está CERTA.
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em