Julgue o item seguinte, a respeito de números complexos e funções de variáveis complexas. Para algum número real α não nulo, na representação geométrica das soluções complexas z1,

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Comentário: A afirmação é ERRADA porque a equação z³ = α, onde α é um número real não nulo, possui uma solução real e duas soluções complexas. Essas duas soluções complexas são sempre conjugadas e, portanto, simétricas em relação ao eixo real.

Especificamente, as soluções para a equação z³ = α podem ser expressas na forma polar como:

Seja r = |α|^{1/3} e a argumentação θ = \arg(α)/3, então as raízes são:

1. z₁ = r(\cos(θ) + i\sin(θ))
2. z₂ = r(\cos(θ + 2π/3) + i\sin(θ + 2π/3))
3. z₃ = r(\cos(θ + 4π/3) + i\sin(θ + 4π/3))

Essas três raízes correspondem aos vértices de um triângulo equilátero, não de um triângulo retângulo. Isso ocorre porque a distância entre cada par de raízes é a mesma, formando ângulos de 120° entre elas.

Dessa forma, podemos concluir que as raízes obtidas para a equação z³ = α não podem ser dispostas de tal forma que formem um triângulo retângulo, o que confirma que a afirmação apresentada está incorreta.