A respeito dos números complexos, julgue o item a seguir. Se n for um número par e se p for um número real diferente de zero, então o polinômio zn + p = 0 tem, necessariamente, dua

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Para resolver \(z^n+p=0\) com \(n\) par, escrevemos \(z^n=-p\). Como \(n\) é par, para qualquer \(z\in\mathbb{R}\) vale \(z^n\ge 0\). Portanto, só existem soluções reais se o lado direito for não negativo, isto é se \(-p\ge 0\), ou seja \(p\le 0\). Como \(p\neq 0\), é preciso \(p<0\).

Logo, a afirmação é falsa porque depende do sinal de \(p\). Se p>0 não há nenhuma raiz real. Como contraexemplo, tome \(n=2\) e \(p=1\): \(z^2+1=0\) leva a \(z^2=-1\), cujas raízes são \(z=\pm i\), sem raízes reais. Se p<0 então existem exatamente duas raízes reais distintas, \(z=\pm(-p)^{1/n}\).

Portanto a assertiva foi corretamente julgada ERRADO, pois não ocorre necessariamente duas raízes reais para todo \(p\neq0\).