Questão FC89362
A respeito dos números complexos, julgue o item a seguir. As raízes cúbicas do número complexo z = 1 + i são os números complexos
Números Complexos
CEBRASPE (CESPE) · 2018
As raízes cúbicas do número complexo z = 1 + i são os números complexos
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: O item apresentado está ERRADO. Vamos analisar a questão com mais detalhes sobre as raízes cúbicas do número complexo \( z = 1 + i \).
Primeiro, precisamos encontrar o módulo e o argumento do número complexo \( z = 1 + i \). O módulo \( |z| \) é dado por:
\[|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\]
E o argumento \( \theta \) é obtido como:
\[\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4}\]
Assim, podemos representar \( z \) na forma exponencial como:
\[z = |z| e^{i\theta} = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}\]
Para calcular as raízes cúbicas de \( z \), utilizamos a fórmula:
\[z_k = |z|^{1/3} e^{i\left(\frac{\theta + 2k\pi}{3}\right)}\]para \( k = 0, 1, 2 \). Calculando o módulo das raízes cúbicas:
\[|z|^{1/3} = (\sqrt{2})^{1/3} = 2^{1/6}\]
Agora, substituímos os valores de \( \theta \) para cada \( k \):
- Para \( k = 0 \):
\[z_0 = 2^{1/6} e^{i\frac{\pi/4}{3}} = 2^{1/6} e^{i\frac{\pi}{12}}\]
- Para \( k = 1 \):
\[z_1 = 2^{1/6} e^{i\left(\frac{\pi/4 + 2\pi}{3}\right)} = 2^{1/6} e^{i\frac{11\pi}{12}}\]
- Para \( k = 2 \):
\[z_2 = 2^{1/6} e^{i\left(\frac{\pi/4 + 4\pi}{3}\right)} = 2^{1/6} e^{i\frac{19\pi}{12}}\]
As raízes cúbicas resultantes são:
\[z_0 = 2^{1/6} e^{i\frac{\pi}{12}}\\z_1 = 2^{1/6} e^{i\frac{11\pi}{12}}\\z_2 = 2^{1/6} e^{i\frac{19\pi}{12}}\]
Portanto, as raízes cúbicas de \( 1 + i \) são diferentes das apresentadas no item, confirmando que o gabarito está ERRADO.
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