Questão FC89363
A respeito dos números complexos, julgue o item a seguir. Se n > 1 for um número inteiro e se ω ≠ 1 for uma raiz n-ésima da unidade (isto é, ωn = 1), então 1 + ω + … + ωn - 1 = 0.
Números Complexos
CEBRASPE (CESPE) · 2018
Se n > 1 for um número inteiro e se ω ≠ 1 for uma raiz n-ésima da unidade (isto é, ωn = 1), então 1 + ω + … + ωn - 1 = 0.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: O item afirma que, para um inteiro n maior que 1, a soma das raízes n-ésimas da unidade, que são da forma \( 1, \omega, \omega^2, \ldots, \omega^{n-1} \), é igual a zero. Essa afirmação é CERTA.
Consideremos as raiz n-ésima da unidade, que é uma solução da equação \( z^n = 1 \).
Portanto, as raízes n-ésimas da unidade podem ser expressas como:
\( \omega_k = e^{2\pi i k/n} \) para \( k = 0, 1, 2, \ldots, n-1 \).
A soma dessas raízes é dada por:
\[S = 1 + \omega + \omega^2 + \ldots + \omega^{n-1}.\]
Para calcular essa soma, note que ela se trata de uma progressão geométrica com n termos, onde a razão é \( \omega \). A fórmula para a soma de uma progressão geométrica é:
\[S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \] onde \( a \) é o primeiro termo e \( r \) é a razão. Neste caso:
- \( a = 1 \) (o primeiro termo é 1)
- \( r = \omega \)
Portanto, temos:
\[S = \frac{1(1 - \omega^n)}{1 - \omega} = \frac{1 - 1}{1 - \omega} = 0,\] considerando que \( \omega^n = 1 \) (definição de raiz n-ésima da unidade) e \( \omega \neq 1 \).
Portanto, a soma \( 1 + \omega + \ldots + \omega^{n-1} \) resulta em 0, confirmando que a afirmação está correta.
Em resumo, a soma das raízes n-ésimas da unidade, para n > 1, é sempre zero, o que valida a afirmação. Portanto, a resposta é CERTA.
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