A respeito dos números complexos, julgue o item a seguir. Se q é um número real diferente de zero e se ω é uma das raízes da equação zn = q, então as raízes dessa equação são: q1/n

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A afirmação foi julgada ERRADO porque lista elementos que não correspondem, em geral, às soluções de \(z^n=q\). Para um número real \(q\neq0\) escrito em forma polar como \(q=|q|e^{i\arg q}\), as raízes são

\(z_k=|q|^{1/n}e^{i(\arg q+2k\pi)/n}\), para \(k=0,\dots,n-1\).

Se \(\omega\) é uma raiz, as demais obtêm-se multiplicando \(\omega\) pelas potências da raiz n-ésima da unidade \(\zeta=e^{2\pi i/n}\), ou seja as raízes são \(\{\omega\zeta^k:k=0,\dots,n-1\}\). A lista dada, \(q^{1/n};\ \omega;\ \omega^2;\dots;\omega^{n-1}\), está incorreta porque \(\omega^m\) não satisfaz \( (\omega^m)^n=q\) em geral, pois \((\omega^m)^n=\omega^{mn}=q^m\neq q\) salvo casos especiais.

Exemplo rápido, com \(q=2\) e \(n=4\), tomando \(\omega=i\,2^{1/4}\), verifica-se que \(\omega^2=-\sqrt2\) não é raiz de \(z^4=2\), mostrando a falha da afirmação.