A respeito dos números complexos, julgue o item a seguir. As raízes do polinômio z3 - 3z2 + 3z = 0, no plano complexo, são vértices de um triângulo inscrito no círculo de centro no

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Comentário: Vamos analisar o polinômio dado: z³ - 3z² + 3z = 0. Podemos fatorar z em evidência, ficando com:

z(z² - 3z + 3) = 0.

Dessa forma, uma das raízes é z = 0. Para encontrar as outras raízes, precisamos resolver a equação quadrática z² - 3z + 3 = 0 utilizando a fórmula de Bháskara:

Δ = b² - 4ac = (-3)² - 4(1)(3) = 9 - 12 = -3.

Como o discriminante é negativo (Δ < 0), obtemos duas raízes complexas conjugadas:

z = \frac{3 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i.

Assim, as raízes do polinômio são:

z₁ = 0, z₂ = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i , z₃ = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i.

Agora, vamos verificar se essas raízes estão localizadas no círculo de centro (1, 0) e raio 1. Para um ponto z = x + iy, a condição para estar neste círculo é:

(x - 1)² + y² = 1.

1. Para z₁ = 0:

(0 - 1)² + 0² = 1, o que é verdadeiro.

2. Para z₂ = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i:

\left(\frac{3}{2} - 1\right)² + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)² = \left(\frac{1}{2}\right)² + \frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1, também verdadeiro.

3. Para z₃ = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i:

\left(\frac{3}{2} - 1\right)² + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)² = \left(\frac{1}{2}\right)² + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)² = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1, verdadeiro novamente.

Assim, todas as raízes satisfazem a condição do círculo.

Sendo assim, podemos afirmar que as raízes do polinômio realmente formam os vértices de um triângulo inscrito no círculo de centro (1, 0) e raio 1, logo a afirmação está CERTA.