Considerando a função f: D → R, em que f(x) = x³ - 3x² +10 para x ∈ D = {x ∈ R|−2 ≤ x ≤ 3}}, julgue o item a seguir. Para a função f, x = 0 é um ponto de máximo local que também é

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Calcule a derivada primeira de \(f(x)=x^3-3x^2+10\): \(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\). As soluções \(x=0\) e \(x=2\) são pontos críticos dentro do domínio \(D=[-2,3]\).

Use a derivada segunda: \(f''(x)=6x-6\). Em \(x=0\) temos \(f''(0)=-6<0\), portanto \(x=0\) é um máximo local. Em \(x=2\) temos \(f''(2)=6>0\), logo \(x=2\) é um mínimo local.

Para determinar o máximo absoluto em um intervalo fechado, compare valores em críticos e extremos. Calculando: \(f(0)=10\), \(f(2)=6\), \(f(-2)=-10\), \(f(3)=10\). O maior valor é 10, alcançado em \(x=0\) e em \(x=3\).

Conclusão: \(x=0\) é ponto de máximo local e, como atinge o valor máximo do intervalo fechado \(D\), também é ponto de máximo absoluto.