Considerando a função f: D → R, em que f(x) = x³ - 3x² +10 para x ∈ D = {x ∈ R|−2 ≤ x ≤ 3}}, julgue o item a seguir. Para a função f, x = 2 é um ponto de mínimo local que também é

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Calculemos os pontos críticos: \(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\), então \(x=0\) e \(x=2\) são pontos críticos do domínio \(D=[-2,3]\).

Aplicando o teste da segunda derivada, \(f''(x)=6x-6\), obtemos \(f''(2)=6>0\), logo \(x=2\) é um **mínimo local**. Para \(x=0\), \(f''(0)=-6<0\), é um máximo local.

Como o domínio é fechado e limitado, o valor mínimo absoluto pode ocorrer também nas extremidades. Temos \(f(2)=2^3-3\cdot2^2+10=6\) e \(f(-2)=(-2)^3-3(-2)^2+10=-10\). Como \(f(-2)=-10<6\), o menor valor em \(D\) não ocorre em \(x=2\). Portanto a afirmação é ERRADA: \(x=2\) é mínimo local, mas não é **mínimo global**.