Considerando as transformações lineares P: R³ → R² e T: R² → R³, dadas, respectivamente, por P(x, y, z) = (x, y) e T(x, y) = (x, y, x + y), e considerando, ainda, que as matrizes a

Gabarito

Certo

Comentário do professor

A transformação \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\) tem imagem contida em \(\mathbb{R}^3\), portanto a imagem de \(T\) é um subespaço de \(\mathbb{R}^3\), porque a imagem de qualquer transformação linear é fechada para soma e multiplicação escalar.

Escrevendo \(T(x,y)=(x,y,x+y)\), temos \(T(x,y)=x(1,0,1)+y(0,1,1)\). Assim a imagem é gerada pelos vetores \((1,0,1)\) e \((0,1,1)\).

Esses geradores são linearmente independentes, pois se \(\alpha(1,0,1)+\beta(0,1,1)=(0,0,0)\), das primeiras coordenadas segue \(\alpha=0\) e \(\beta=0\). Logo não há combinação linear não trivial que os anule.

Como a imagem é gerada por dois vetores L.I., sua dimensão é 2, portanto a afirmação de que a imagem de \(T\) é um subespaço de \(\mathbb{R}^3\) com dimensão 2 está correta.