Questão FC89379
Considerando as transformações lineares P: R³ → R² e T: R² → R³, dadas, respectivamente, por P(x, y, z) = (x, y) e T(x, y) = (x, y, x + y), e considerando, ainda, que as matrizes a
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2018
O núcleo da transformação linear composta T o P é gerado pelo vetor e3 = (0, 0, 1), isto é, um vetor v = (x, y, z) está no núcleo de T o P, se, e somente se, x = y = 0.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Calculemos a ação das transformações: \(P(x,y,z)=(x,y)\) e \(T(u,v)=(u,v,u+v)\). Aplicando a composição, obtém-se \(T\circ P(x,y,z)=T(x,y)=(x,y,x+y)\).
O núcleo de \(T\circ P\) é o conjunto de vetores \((x,y,z)\) tais que \(T\circ P(x,y,z)=(0,0,0)\). Isso leva ao sistema \(\begin{cases}x=0\\y=0\\x+y=0\end{cases}\), cujas duas primeiras equações já impõem \(x=0\) e \(y=0\), a terceira é redundante.
Portanto os vetores do núcleo têm a forma \((0,0,z)\) com \(z\in\mathbb{R}\). Logo o núcleo é gerado por e3, \( (0,0,1)\), ou seja \(\ker(T\circ P)=\mathrm{span}\{(0,0,1)\}\), de dimensão 1.
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