Questão FC89380
Considerando as transformações lineares P: R³ → R² e T: R² → R³, dadas, respectivamente, por P(x, y, z) = (x, y) e T(x, y) = (x, y, x + y), e considerando, ainda, que as matrizes a
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2018
A transformação linear composta P o T é uma bijeção de R² em R².
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário:
Vamos analisar a transformação composta \( P \circ T \), a qual é resultado da aplicação de \( T \) seguida de \( P \).
Temos as seguintes transformações:
\( P: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \), onde \( P(x, y, z) = (x, y) \), e
\( T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \), onde \( T(x, y) = (x, y, x+y) \).
Ao compor \( P \) com \( T \), temos:
\[P \circ T (x, y) = P(T(x, y)) = P(x, y, x + y) = (x, y)\]
Portanto, a transformação composta \( P \circ T \) leva elementos de \( \mathbb{R}^2 \) para \( \mathbb{R}^2 \). Assim, podemos afirmar que o domínio da transformação \( P \circ T \) é \( \mathbb{R}^2 \), enquanto o contradomínio também é \( \mathbb{R}^2 \).
Agora, precisamos verificar se essa transformação é bijetiva, o que implica que deve ser tanto injetora quanto sobrejetora.
Injetividade:
Para testar a injetividade, analisamos se o núcleo da transformação é trivial, ou seja, se \( P \circ T(x, y) = (0,0) \) implica que \( (x,y)=(0,0) \). Assim, temos:
\[P \circ T(x, y) = (0, 0) \implies P(x, y, x + y) = (0, 0) \implies (x, y) = (0, 0)\]
Isso confirma que o núcleo contém apenas o vetor nulo, logo, \( P \circ T \) é injetiva.
Sobrejetividade:
Para verificar a sobrejetividade, observamos que a imagem de \( P \circ T \) precisa coincidir com todo o contradomínio \( \mathbb{R}^2 \). A base canônica \( \{(1,0), (0,1)\} \) é gerada por \( P \circ T \), pois qualquer vetor \( (a, b) \in \mathbb{R}^2 \) pode ser escrito como uma combinação linear de \( (1,0) \) e \( (0,1) \).
Assim, tanto a injetividade quanto a sobrejetividade estão garantidas, concluindo que \( P \circ T \) é efetivamente uma bijeção de \( \mathbb{R}^2 \) em \( \mathbb{R}^2 \).
Portanto, o item está CERTO.
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