Considerando as transformações lineares P: R³ → R² e T: R² → R³, dadas, respectivamente, por P(x, y, z) = (x, y) e T(x, y) = (x, y, x + y), e considerando, ainda, que as matrizes a

Gabarito

Errado

Comentário do professor

As dimensões e as composições determinam a invertibilidade. A transformação P: \( \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) tem matriz canônica \( \;P=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}\), e T: \(\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\) tem \( \;T=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&1\end{bmatrix}\).

Calculando a composição, P×T é \(P\cdot T=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\), que é a matriz identidade \(I_2\), portanto inversível.

Já T×P é \(T\cdot P=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&1&0\end{bmatrix}\). Note que a terceira coluna é nula, portanto a matriz tem coluna linearmente dependente, o que implica determinante zero, logo não é inversível.

Conclusão: é falso afirmar que as duas matrizes são ambas quadradas e inversíveis, porque P×T é inversível mas T×P não é.