Questão FC89385
A respeito de aproximação numérica de integrais definidas, julgue o item subsequente. O valor aproximado da integral da função f(x) = sen 2x, no intervalo , calculado pela regra de
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2018
O valor aproximado da integral da função f(x) = sen 2x, no intervalo
, calculado pela regra de Simpson usando-se um único arco da parábola que passa pelos pontos de abscissas 
, é igual a 
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: A questão trata da aproximação numérica de uma integral definida utilizando a Regra de Simpson, que é uma técnica eficaz para estimar o valor de integrais quando não podemos calculá-las analiticamente.
Na Regra de Simpson, para calcular a integral definida da função \( f(x) = \sin(2x) \) no intervalo de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{2} \), identificamos os pontos de abscissa como: \( x_0 = 0 \), \( x_1 = \frac{\pi}{4} \) e \( x_2 = \frac{\pi}{2} \). A largura do subintervalo é dada por \( \Delta x = \frac{\pi}{4} \).
Então, aplicamos a fórmula da Regra de Simpson:
\[\int_a^b f(x)dx \approx \frac{\Delta x}{3} [f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2)]\] Substituindo os valores de \( f(x) \): \[\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)dx \approx \frac{\pi}{4}{3} [\sin(0) + 4\sin(\frac{\pi}{2}) + \sin(\pi)]\] Calculando cada parte, temos:- \( \sin(0) = 0 \)- \( \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \)- \( \sin(\pi) = 0 \)Portanto, a expressão se torna:\[\approx \frac{\pi}{12} [0 + 4 \times 1 + 0] = \frac{\pi}{12} \times 4 = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}\] Concluímos que o valor aproximado da integral é \( \frac{\pi}{3} \), que é uma estimativa válida. Para comparação, o valor exato da integral de \( \sin(2x) \) de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{2} \) também é \( 1 \). Através da Aproximação, vemos que \( \frac{\pi}{3} \approx 1.047 \), o que é próximo da resposta esperada.
Portanto, afirmamos que o item é CERTO.
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