Questão FC89386
Considerando que Zn representa o conjunto dos inteiros módulo n e que Mn representa o conjunto das matrizes quadradas n × n, cada um com as operações de adição e multiplicação usua
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2018
O anel Z2 é um corpo.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário:
O anel Z2 é de fato um corpo. Para entender por quê, precisamos analisar as propriedades que definem um corpo dentro da álgebra.
Primeiramente, o conjunto Z2 representa os inteiros módulo 2, ou seja, contém apenas os elementos {0, 1}.
Para ser considerado um corpo, o conjunto precisa satisfazer três condições fundamentais:
1. Comutatividade:
As operações de adição e multiplicação devem ser comutativas. Para Z2, verificamos:
\(0 + 1 = 1 + 0 = 1\)
\(1 \cdot 1 = 1\)
\(0 \cdot 1 = 1 \cdot 0 = 0\)
Assim, a comutatividade é satisfeita para ambos os casos (adição e multiplicação).
2. Existência do elemento unidade:
Devemos ter um elemento neutro para a multiplicação. No caso de Z2, o número 1 atua como o elemento neutro, pois:
\(1 \cdot 1 = 1\) e \(1 \cdot 0 = 0\).
3. Existência do inverso:
Para cada elemento não nulo, deve haver um inverso multiplicativo. Como temos 1 como o único elemento não nulo, seu inverso também é 1, pois:
\(1 \cdot 1 = 1\).
Como todas essas propriedades são atendidas, podemos afirmar que Z2 é um corpo. Portanto, o gabarito da questão está CERTO.
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