Considerando que Zn representa o conjunto dos inteiros módulo n e que Mn representa o conjunto das matrizes quadradas n × n, cada um com as operações de adição e multiplicação usua

Gabarito

Certo

Comentário do professor

No anel Z_7 os elementos são \(0,1,2,3,4,5,6\) e, como 7 é primo, Z_7 é um campo, logo todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo. Para verificar que o inverso de 5 é 3 basta resolver \(5x\equiv1\pmod{7}\).

Uma verificação direta: \(5\cdot3=15\) e \(15\equiv1\pmod{7}\), pois \(15-1=14\) é múltiplo de 7. Portanto \(3\) satisfaz \(5x\equiv1\pmod{7}\), é o inverso de \(5\) em \(Z_7\), e esse inverso é único.

Alternativamente, o algoritmo de Euclides estendido dá inteiros \(a,b\) com \(5a+7b=1\), implicando \(5a\equiv1\pmod{7}\); o cálculo fornece \(a=3\), confirmando a afirmação.