Questão FC89388
Considerando que Zn representa o conjunto dos inteiros módulo n e que Mn representa o conjunto das matrizes quadradas n × n, cada um com as operações de adição e multiplicação usua
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2018
O anel M2 é um domínio de integridade.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: O item está ERRADO porque para que um anel seja considerado um domínio de integridade, ele deve satisfazer algumas propriedades fundamentais. Uma das condições essenciais é que a multiplicação no anel deve ser comutativa, ou seja, para todas as matrizes \( A \) e \( B \) em \( M_n \), deve-se ter \( A \cdot B = B \cdot A \).
Entretanto, no caso de \( M_2 \), que consiste em matrizes \( 2 \times 2 \), a multiplicação de matrizes não respeita essa propriedade. Por exemplo:
Se considerarmos as matrizes:
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) e \( B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \),
temos que:
\( A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) e
\( B \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \).
Como podemos ver, \( A \cdot B \neq B \cdot A \).
Portanto, devido à falta dessa propriedade comutativa na multiplicação de matrizes, podemos concluir que \( M_2 \) não é um domínio de integridade.
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