Considerando que Zn representa o conjunto dos inteiros módulo n e que Mn representa o conjunto das matrizes quadradas n × n, cada um com as operações de adição e multiplicação usua

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A afirmação foi julgada ERRADO porque, embora \( \mathbb{Z}_{n} \) com as operações usuais seja um anel comutativo e possua unidade, para ser corpo é necessário que todo elemento não nulo tenha inverso multiplicativo.

Vale o fato geral: \( \mathbb{Z}_{n} \) é corpo se, e somente se, \(n\) for primo. Para \(n=p^{2}\) com \(p\) primo, \(n\) é composto, logo existem zero divisores. Por exemplo, \(p\) não é nulo em \( \mathbb{Z}_{p^{2}} \) e satisfaz \(p\cdot p\equiv 0\pmod{p^{2}}\), portanto \(p\) não tem inverso.

Outra forma, elemento \(a\in\mathbb{Z}_{n}\) é invertível se, e só se, \(\gcd(a,n)=1\). Para \(n=p^{2}\) qualquer \(a\) múltiplo de \(p\) tem \(\gcd(a,n)=p\neq1\), logo não é invertível. Assim \( \mathbb{Z}_{p^{2}} \) não é corpo.