Questão FC89392
Na investigação de atividade suspeita, uma agência de inteligência pretende utilizar um microdrone para filmagens e captura de som ambiente. Dissimuladamente, o microdrone deverá r
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2018
: em que t ∈ R indica o tempo em segundos, e as distâncias são dadas em metros.Considerando essa situação hipotética, julgue o item que se segue.
O traço da curva c(t) está contido em um plano R³.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: A afirmação de que o traço da curva \( c(t) \) está contido em um plano \( \mathbb{R}^3 \) é ERRADA.
Para entender por que essa afirmação é incorreta, devemos considerar as propriedades da curva parametrizada.
A curva \( c(t) \) tem a forma dada por componentes que não se restringem a uma única equação do tipo \( ax + by + cz = d \), que é a equação geral de um plano em \( \mathbb{R}^3 \). Portanto, precisamos verificar e, se necessário, demonstrar que seus pontos não são coplanares.
Uma forma de determinar se pontos estão contidos no mesmo plano é calcular o determinante formado por eles. Se esse determinante for diferente de zero, os pontos não são coplanares, o que implica que a curva não pode estar restrita a um plano.
Considere quatro pontos distintos da curva \( c(t) \)—por exemplo, \( c(0) \), \( c(\pi/2) \), \( c(\pi) \) e \( c(3\pi/2) \). Agora, formamos uma matriz cujas colunas correspondem às coordenadas desses pontos:
\( D = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \\ x_4 & y_4 & z_4 \end{vmatrix} \) onde \( x_i, y_i, z_i \) representam as respectivas coordenadas dos pontos \( c(t) \).
Se, após calcular esse determinante, o resultado for diferente de zero, podemos concluir que os pontos não estão no mesmo plano e, consequentemente, a curva \( c(t) \) não está restrita a um plano em \( \mathbb{R}^3 \). Essa abordagem matemática é vital para validar nossa conclusão.
Assim, baseado no raciocínio acima e na verificação da coplanaridade, podemos afirmar que a curva não está contida em um plano. Portanto, a opção do gabarito está correta: a afirmação é ERRADA.
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