Considere um gás de fótons em equilíbrio contido em uma caixa cúbica de volume L3. Calcule o número de modos normais permitidos de frequência ω no intervalo dω.

Comentário do professor

Contamos os modos no espaço de momentos (espaço k) com condições periódicas na caixa de volume \(V=L^3\). Cada estado discreto ocupa um volume \((2\pi/L)^3\) em k, de modo que a densidade de estados no espaço k é \(V/(2\pi)^3\).

O número de modos com magnitude entre \(k\) e \(k+dk\) é a área da casca esférica vezes essa densidade, multiplicada por 2 para as duas polarizações do fóton:

\(dN = 2\cdot \frac{V}{(2\pi)^3}\cdot 4\pi k^2 dk = \frac{V}{\pi^2} k^2 dk\).

Usando a relação de dispersão dos fótons \(k=\omega/c\) e \(dk=d\omega/c\), obtemos

\(dN = \frac{V}{\pi^2}\frac{\omega^2}{c^2}\frac{d\omega}{c} = \frac{L^3\omega^2}{\pi^2 c^3}\,d\omega\),

que é a expressão indicada na alternativa correta.