- Questão:
- FC908314
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- Concurso:
- Órgãos: Pref Petrolina - Prefeitura Municipal de Petrolina - Cargos: Professor (Pref Petrolina) · IAUPE · 2026
Qual o valor da razão \(b/a\)?
Seis círculos congruentes, cada um deles com área medindo \(4\pi\), são dispostos como na figura a seguir, tangentes dois a dois.
Qual o valor da razão \(b/a\)?
- \(\frac{\sqrt{3}-1}{3}\)
- \(\frac{\sqrt{3}+1}{3}\)
- \(\frac{3(\sqrt{3}-1)}{2}\)
- \(\frac{3(\sqrt{3}+1)}{2}\)
- \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Gabarito
Gabarito: Certo
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em
Comentário do professor
Da área \( \pi r^2=4\pi\) vem \(r=2\). Colocando os centros das seis circunferências em uma rede triangular (linhas com 3, 2 e 1 centros), os centros de círculos adjacentes têm distância \(2r=4\).
O comprimento \(a\) é a largura total do conjunto, ou seja a soma de três diâmetros na base: \(a=6r\).
Para \(b\) decompomos a distância vertical oblíqua entre o ponto mais alto do conjunto e a extremidade lateral. Usando as coordenadas dos centros na rede triangular e somando os deslocamentos radiais apropriados, obtém‑se
\(b=9r(\sqrt{3}-1)\).
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\(\displaystyle\frac{b}{a}=\frac{9r(\sqrt{3}-1)}{6r}=\frac{3(\sqrt{3}-1)}{2},\)
que coincide com a alternativa correta.