Qual Poder autoriza legalmente a realização e o limite das despesas públicas?

Poder Legislativo.

Explicação:
O Poder Legislativo autoriza despesas por meio dos instrumentos orçamentários (PPA, LDO e principalmente a LOA), que fixam receitas, limites e finalidades das despesas.
Além disso, o Legislativo fiscaliza e acompanha a execução orçamentária, garantindo legalidade e transparência.

exemplo:
A administração estadual propõe a compra de equipamentos para hospitais; a Assembleia aprova na LOA a dotação de R$ 3.000.000 para essa finalidade. Só com essa lei a gestão pode empenhar e pagar os equipamentos.