Questão FC539150
A função tipo SINC possui diversas aplicações na engenharia elétrica, por exemplo, no projeto de filtros digitais. De forma matemática, a função tipo SINC é definida como f(x) = si
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ACAFE · 2024
A função tipo SINC possui diversas aplicações na engenharia elétrica, por exemplo, no projeto de filtros digitais. De forma matemática, a função tipo SINC é definida como f(x) = sin(x)/x. Sendo assim, definem-se m e n como os limites da função f(x), quando x tende a 0 e ao infinito, respectivamente, isto é, m = f(0) e n = f(\(∞\)). Diante do exposto, assinale a alternativa que contém, respectivamente, os valores de m e n:
- m = \(∞\) e n = 0.
- m = 0 e n = 1.
- m = 1 e n = 0.
- m = 1 e n = -1.
- m = 0 e n = \(∞\).
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
m e n são obtidos pelos limites de \(f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\) quando \(x\to 0\) e \(x\to\infty\), respectivamente.
Para \(m\): \( \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1\). Isso pode ser visto pela série de Taylor \(\sin x = x-\dfrac{x^3}{6}+\cdots\), que ao dividir por \(x\) dá \(1-\dfrac{x^2}{6}+\cdots\), ou aplicando a regra de L'Hôpital: \(\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{\cos x}{1}=1\).
Para \(n\): \( \lim_{x\to\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0\). A razão é que \(|\sin x|\le 1\), logo \(\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|\le \dfrac{1}{|x|}\) e o lado direito tende a 0 quando \(x\to\infty\) (teorema do aperto).
Portanto, \(m=1\) e \(n=0\).
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