Questão FC236305
Após 28 anos de existência, nota de R$ 100 compra em 2022 o mesmo que R$ 13,91 em 1994 Nota de R$ 100 — Foto: Divulgação/BC Disponível em: https://g1.globo.com/economia/noticia/202
Regime de Juros e Descontos Compostos
CESGRANRIO · 2023
Após 28 anos de existência, nota de R$ 100
compra em 2022 o mesmo que R$ 13,91 em 1994
Nota de R$ 100 — Foto: Divulgação/BC Disponível em:
https://g1.globo.com/economia/noticia/2022/07/16/ apos-28-anos-de-existencia-nota-de-r-100-compra-hoje-omesmo- que-r-1391-em-1994.ghtml. Acesso em: 21 abr. 2023.
Suponha que, em 1994, um artigo custasse R$ 13,91 e, exatos 28 anos depois (336 meses), ele passasse a custar R$ 100,00. Suponha, também, que, para esse período, a taxa mensal de aumento no preço desse artigo tenha sido igual a k%, ou seja, a cada mês o preço do artigo sofreu um aumento de k% em relação ao preço do mês anterior. O valor de k pode ser dado por
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\(100 \left ( \dfrac{100}{13,91} \right)^{1/336} - 100\)
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\(100 \left ( \dfrac{100}{13,91} \right)^{336} - 100\)
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\(\left ( \dfrac{100}{13,91} \right)^{1/336} - 1\)
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\(\left ( \dfrac{100}{13,91} \right)^{336} +0,01\)
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\(100 \left ( \dfrac{100}{13,91} \right)^{1/336} + 0,01\)
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Gabarito
A
Comentário do professor
Partimos do modelo de juros compostos, pois o preço cresce uma porcentagem sobre o valor do mês anterior. A fórmula é \(M=C(1+i)^n\), onde \(M\) é o montante, \(C\) o capital inicial, \(i\) a taxa decimal mensal e \(n\) o número de meses.
Substituindo: \(100=13{,}91\left(1+\dfrac{k}{100}\right)^{336}\). Dividindo por 13,91 obtemos \(\left(1+\dfrac{k}{100}\right)^{336}=\dfrac{100}{13{,}91}\).
Extraindo a raiz 336ª: \(1+\dfrac{k}{100}=\left(\dfrac{100}{13{,}91}\right)^{1/336}\).
Isolando \(k\): \(\dfrac{k}{100}=\left(\dfrac{100}{13{,}91}\right)^{1/336}-1\), portanto
\(k=100\cdot\left(\dfrac{100}{13{,}91}\right)^{1/336}-100\), que é a expressão da taxa mensal em porcentagem compatível com o aumento observado.
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